Krzywa Lorenza

Krzywa Lorenza – krzywa opisująca stopień koncentracji (nierównomierności podziału globalnego zasobu cechy) jednowymiarowego rozkładu zmiennej losowej o wartościach nieujemnych.

Krzywa Lorenza światowego i europejskiego PKB (2013)

Jest ona często wykorzystywana w ekonometrii do liczbowego wyrażania koncentracji kapitału i nierównomierności zarobków. Ma również zastosowania w ekologii.

Definicja

Jeśli obserwacje statystyczne w próbie o liczności $N$ są posortowane ze względu na wartości cechy $Z,$ która przyjmuje wartości nieujemne i choć dla jednej obserwacji jest dodatnia, czyli:

$0\leqslant z_{1}\leqslant z_{2}\leqslant \dots \leqslant z_{N},$

$\sum _{i=1}^{N}z_{i}>0.$

Wówczas krzywa Lorenza jest łamaną, której wierzchołki $(x_{h},y_{h}),$ dla $h=0,1,\dots ,N,$ mają współrzędne:

$x_{0}=y_{0}=0,$

$x_{h}={\frac {h}{N}},$

$y_{h}={\frac {\sum _{i=1}^{h}z_{i}}{\sum _{i=1}^{N}z_{i}}},$

gdzie $h=1,2,\dots ,N.$

Krzywa Lorenza zawiera się w kwadracie jednostkowym, przy czym jej końce to dolny lewy i górny prawy wierzchołek kwadratu (oczywiście $x_{N}=y_{N}=1$ ). Pole pomiędzy nią a przekątną kwadratu nazywane jest wskaźnikiem Giniego.

Czasem też rysuje się nieznormalizowaną krzywą Lorenza, dla której:

$x_{h}=h,$

$y_{h}=\sum _{i=1}^{h}z_{i}.$

Wówczas nieco utrudnione jest obliczanie wskaźnika Giniego, ale oś OY można opisać w jednostkach danego dobra (np. w PLN).

Przykład interpretacji

Jeśli jakiś punkt krzywej Lorenza ma współrzędne $(0,6;0,3),$ to oznacza, że suma 60% obserwacji o najmniejszych wartościach stanowi 30% całej sumy, np. 60% najbiedniejszych ludzi posiada 30% całego majątku społeczeństwa.

Im bliżej przekątnej jest krzywa Lorenza, tym rozkład jest bardziej równomierny.

Zastosowanie w ekonometrii

Krzywa Lorenza jest często wykorzystywana w ekonometrii do opisywania stopnia nierówności dystrybucji dochodów w społeczeństwie.

Krzywa nachylona pod kątem 45 stopni przedstawia równomierny rozkład dochodów w społeczeństwie. Równomierny rozkład dochodów oznacza na przykład, że 80% dochodów otrzymuje 80% społeczeństwa (punkt E). Przykładem nierówności może być fakt, że 80% ludności dysponuje zaledwie 50% dochodów (punkt E′).

Zastosowanie w geografii ludności

Krzywa Lorenza jest stosowana w geografii ludności do obrazowania nierównomierności gęstości zaludnienia w podjednostkach terenowych.

Zobacz też

• indeks Giniego