Подмножество

В математиката, множеството A е подмножество на множеството B (или B е надмножество на A), ако всички елементи на A са също и елементи на B. Това означава също, че всяко множество е подмножество на самото себе си.

Ойлерова диаграма, показваща A като строго подмножество на B, A⊂B

Връзката на подмножеството определя частична подредба. Подмножествата на дадено множество образуват булева алгебра чрез тази връзка, в която могат да се изразяват сечение и обединение.

Определение

Ако A и B са множества и всеки елемент от A е също и елемент от B, тогава

• A е подмножество на B, обозначавано с $A\subseteq B,$ или еквивалентно
• B е надмножество на A, обозначавано с $B\supseteq A$ .

Ако A е подмножество на B, но A не е равно на B (тоест съществува поне един елемент на B, който не е елемент на A), тогава

• A е собствено (или строго) подмножество на B, обозначавано с $A\subsetneq B,$ или еквивалентно
• B е собствено (или строго) надмножество of A, обозначавано с $B\supsetneq A$ .

За всяко множество S, връзката на инклузия ⊆ е частична подредба върху множеството ${\mathcal {P}}(S)$ от всички подмножества на S, определени от $A\leq B\iff A\subseteq B$ . Възможно е и частичната подредба на ${\mathcal {P}}(S)$ чрез обратна инклузия, определяйки $A\leq B\iff B\subseteq A$ .

Когато се изразява количествено, A ⊆ B се представя като ∀x(x ∈ A → x ∈ B).

Свойства

• Множеството A е подмножество на B тогава и само тогава, когато тяхното пресичане е равно на A.

Формално:

$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A.$

• Множеството A е подмножество на B тогава и само тогава, когато тяхното обединение е равно на B.

Формално:

$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B.$

• Крайното множество A е подмножество на B тогава и само тогава, когато кардиналността на тяхното пресичане е равна на кардиналността на A.

Формално:

$A\subseteq B\Leftrightarrow |A\cap B|=|A|.$