Kenneth J. Arrow F. H. Hahn

Prefacio

Nota sobre las convenciones de notaciones y referencias cruzadas

Introducci�n hist�rica

1. Los economistas cl�sicos

2. Las contribuciones de Walras

3. Edgeworth y Pareto: racionalidad de grupo y asignaci�n

4. An�lisis del equilibrio parcial

5. Desarrollos ocurridos durante los a�os treinta y despu�s: existencia y car�cter �nico

6. Desarrollo durante los treinta y despu�s: estabilidad y est�tica comparativa

7. La estructura de la determinaci�n de los precios y la unicidad del equilibrio

Prefacio

La tradici�n es algo mucho m�s importante. No puede heredarse, y si se desea debe obtenerse con grandes sacrificios.

-T. S. Eliot. Tradition and the Individual Talent.

Gran parte de este libro se ocupa del an�lisis de una econom�a idealizada, descentralizada. En particular, se supone que en lo fundamental hay competencia perfecta y que las elecciones de los agentes econ�micos pueden deducirse de ciertos axiomas de racionalidad. S�lo recientemente se ha vuelto posible un examen m�s o menos completo y riguroso de esta construcci�n, en proceso desde hace mucho tiempo.

Nos proponemos hacer una exposici�n sistem�tica del tema. Al recorrer este camino, se puso en claro que podr�a atravesarse una cantidad considerable de territorio intelectual inexplorado sin sacrificar los objetivos b�sicamente expositivos del trabajo; por el contrario, en muchos casos la superaci�n de lagunas da un aspecto m�s sistem�tico al conjunto. Igualmente, en la mayor�a de los casos hemos ofrecido pruebas nuevas de los resultados conocidos en la teor�a del equilibrio competitivo.

En las notas que se encuentran al final de cada cap�tulo se anotan los reconocimientos de prioridades; no hemos tratado de elaborar historias detalladas, sino s�lo de presentar el primer enunciado importante de cada resultado. Los teoremas del texto no citados en los notas son, o tan bien conocidos que la referencia habr�a resultado pedante, o bien son originales de los autores de este libro hasta donde nosotros sabemos.

El libro es estrictamente un esfuerzo conjunto, y ambos autores son responsables de todos los errores. En el acto de la redacci�n, cada autor tuvo la responsabilidad inicial de cada cap�tulo, que luego se someti� a las cr�ticas y enmiendas reiteradas del otro; en varios casos, el proceso de aproximaci�n pas� por varias etapas. Este proceso habr�a continuado, sin duda, si los autores no hubiesen aprendido por amarga experiencia que el tiempo en que se da la recontrataci�n coincide de hecho con el tiempo real. Arrow escribi� los borradores iniciales de los cap�tulos 1 y 3-8, y los ap�ndices matem�ticos B y C; Hahn escribi� los borradores de los cap�tulos 9-14 y el ap�ndice matem�tico A. Ambos autores escribieron secciones del cap�tulo 2.

Hay necesidad de advertir que no nos ocuparemos de ciertos t�picos que algunos lectores esperar�an encontrar; tales t�picos se han omitido para mantener dentro de l�mites razonables el alcance f�sico e intelectual del libro y para preservar alguna apariencia de unidad en el enfoque. (1) Hemos omitido todo examen de los mercados con un continuo de participantes, un estudio que a nuestro juicio tiene gran importancia potencial, introducido en a�os recientes por Aumann y proseguido por Debreu, Hildenbrand, Vind y las j�venes escuelas belga e israel�. Este trabajo requiere el empleo de la teor�a de la medici�n, lo que habr�a constituido una adici�n formidable a los requisitos de matem�ticas avanzadas que ya exigimos de nuestros lectores. Sin embargo, en los cap�tulos 7 y 8 hemos tratado de avanzar hasta donde sea posible en esta direcci�n sin el empleo de la teor�a de la medici�n. (2) Dado que hacemos hincapi� en el equilibrio general de la econom�a, no nos hemos ocupado en forma detallada de teoremas espec�ficos de las teor�as de la empresa y la unidad familiar; s�lo analizamos los resultados que requiere el examen del equilibrio general. Esto significa tambi�n que nos hemos contentado con basar la teor�a de la unidad familiar en el supuesto de un ordenamiento de las preferencias, y no hemos examinado la literatura creciente que basa esta teor�a en alguna forma del supuesto de las preferencias reveladas. (3) Nos hemos abstenido tambi�n de desarrollar la econom�a del bienestar, a excepci�n de algunos teoremas que intervienen, a la vez y en alguna forma, en la teor�a descriptiva del equilibrio general. Se espera que otros vol�menes de esta serie de textos sobre econom�a matem�tica y econometr�a se ocupen de las teor�as de la empresa y la unidad familiar, y de la econom�a del bienestar. (4) S�lo nos ocupamos en la forma m�s superficial de la extensi�n de la teor�a del equilibrio general en cuanto a la situaci�n de incertidumbre, en el cap�tulo 5. Por una parte, la econom�a de la incertidumbre es un t�pico amplio que no puede tratarse aqu� en forma adecuada; por la otra, la teor�a del equilibrio general se encuentra todav�a en etapa temprana del desarrollo.

Es natural y justificado que nos preguntemos si esta investigaci�n de una econom�a aparentemente tan alejada del mundo real es algo que valga la pena. Podemos contestar en la forma acostumbrada, llamando la atenci�n sobre la naturaleza enormemente compleja del material que estudian los economistas y sobre la necesidad correspondientemente urgente de simplificaci�n y, por tanto, de abstracci�n. Pero ello dejar�a sin respuesta la duda acerca de por qu� hayan de ser apropiadas las simplificaciones particulares aqu� utilizadas.  

Nuestra respuesta es algo diferente. Ya es larga y bastante respetable la serie de economistas que, desde Adam Smith hasta el presente, han tratado de demostrar que una econom�a descentralizada, motivada por el inter�s individual y guiada por se�ales de los precios, ser�a compatible con una disposici�n coherente de los recursos econ�micos, que podr�a considerarse, en un sentido bien definido, mejor que un gran n�mero de disposiciones alternativas posibles. Adem�s, las se�ales de precios operar�an en cierta forma para establecer este grado de coherencia. Es importante entender cu�n sorprendente deber ser esta afirmaci�n para cualquiera que no se haya expuesto a esta tradici�n. La respuesta inmediata, �de sentido com�n�, al interrogante: ��C�mo ser�a una econom�a motivada por la ambici�n individual y controlada por un n�mero muy grande de agentes diferentes?�, ser�a probablemente �sta; habr�a caos. El hecho de que una respuesta enteramente diferentes haya sido proclamada como cierta desde antiguo y haya impregnado en realidad el pensamiento econ�mico de gran n�mero de personas que en modo alguno son economistas, es motivo suficiente para investigarla seriamente. Una vez planteada la proposici�n y considerada muy seriamente, se hace importante saber, no s�lo si la misma es cierta, sino tambi�n si ella podr�a ser cierta. Buena parte de lo que sigue se refiere a esta �ltima cuesti�n, que en nuestra opini�n merece la atenci�n de los economistas.

Si se ha encontrado la confirmaci�n de la proposici�n antes mencionada en una formalizaci�n particular de la econom�a, se vuelve luego interesante la determinaci�n de la fuerza de este resultado. �Sobrevivir� el mismo si cambiamos el supuesto de una econom�a perfectamente competitiva por el de otra de competencia imperfecta? �Ser� destruido por las econom�as externas, por irracionalidades evidentes, tales como la de �juzgar la calidad por el precio�, o por la falta de suficientes �mercados de futuros� y el papel especial que podr�a asumir el medio de cambio? En lo que sigue se sugerir�n algunas respuestas a estas cuestiones. Por supuesto, subsistir�n otros interrogantes. Pero lo importante es esto: no basta con afirmar que, si bien es posible inventar un mundo donde resulten justificadas las pretensiones de la �mano invisible�, tales pretensiones fallan en el mundo real. Debe mostrarse c�mo las caracter�sticas del mundo, consideradas esenciales en toda descripci�n del mismo hacen imposible tambi�n la justificaci�n de aquellas pretensiones. Al tratar de contestar el interrogante ��podr�a ser cierto?�, aprenderemos mucho acerca de por que podr�a no ser cierto.

As� pues, opinamos que exista una teor�a de la econom�a descentralizada intelectualmente desafiante, que ha sido tomada en serio y lo sigue siendo, y por tanto merece el escrutinio l�gico m�s cuidadoso.

Hemos prestado aqu� tambi�n cierta atenci�n a la posibilidad de utilizar las construcciones idealizadas para comparar econom�as diferentes. En general, concluimos que los postulados son demasiado d�biles para permitirnos avanzar mucho. Esto puede tomarse como demostraci�n de la deficiencia de la teor�a. Pero tambi�n puede tomarse como demostraci�n de su fuerza, ya que sugiere que se han dejado grados de libertad suficientes para que la informaci�n emp�rica no influya en el pron�stico; no es una construcci�n totalmente a priori.

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Nota sobre las convenciones de notaciones y referencias cruzadas

Todos los vectores aparecen en negrita; los componentes de un vector tienen el mismo s�mbolo que �ste, pero en cursiva y se distinguen entre s� por sub�ndices. Por ejemplo, si X es un vector, y x _i es su componente n�mero i. Cuando el contexto es claro, no se utiliza ninguna notaci�n especial para distinguir los vectores de hilera de los vectores de columna. Por ejemplo, en el producto interior xy se da por sentado que x es un vector de hilera e y es un vector de columna. La notaci�n para las desigualdades de vectores es la siguiente:

x > y significa x_i > y_i, para todo i;

  x > y significa x_i > y _i, para todo i,  x_i, > y_i por los menos para una i;

 y 

x > y significa x_i > y_i para todo i.

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Generalmente indicamos un conjunto con una letra may�scula en bastardilla. Una suma vectorial de conjuntos de vectores se indica por un signo ordinario de sumatoria. Un producto cartesiano de conjunto de vectores se indica por X; en ambos casos, los sub�ndices indican la extensi�n de la suma. Por ejemplo, si para cada �ndice f, y Yf es un conjunto de vectores de producci�n posibles, su suma vectorial, el conjunto de posibilidades de producci�n social, se indica por f Yf, mientras que su producto cartesiano, que es el conjunto de posibles asignaciones de la producci�n, se denota por Xf Yf. Un conjunto definido como un producto cartesiano de una familia de con �ndices de conjuntos con una letra en cursiva, se designa con la correspondiente letra may�scula manuscrita; por ejemplo y = Xf Yf, y todo elemento del mismo, con la correspondiente letra min�scula manuscrita; por ejemplo, y es un miembro t�pico de y.

Si un conjunto se define por alguna propiedad de sus miembros se escribe con llaves, donde el elemento t�pico del conjunto se anota primero, seguido, tras una l�nea vertical, por la propiedad en cuesti�n. Por ejemplo, A={x|x} >0 es el conjunto de todos los vectores X con la propiedad de que todos sus elementos son no negativos y por lo menos uno es positivo.

Un par de llaves que encierran un solo vector denota el conjunto consistente en ese vector solo; por ejemplo, {x0}. Si A y B son conjuntos A ~B denota la diferencia de teor�a de conjuntos entre A y B, o sea el conjunto de todos los elementos de A que no se encuentran tambi�n en B.

Las matrices se denotan generalmente con letras may�sculas en cursivas o se presentan por par�ntesis alrededor de elemento t�pico. Por ejemplo, (x_ij) es la matriz X cuyo elemento t�pico es x_ij. La transportaci�n se denota con una prima.

En cada cap�tulo se encontrar� la notaci�n detallada.

 

Introducci�n hist�rica

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Este es el uso de la memoria para liberaci�n...

La Historia puede ser servidumbre,

La Historia puede ser libertad... -T. S. Eliot, Little Gidding

 

1. Los economistas cl�sicos

Hay dos aspectos b�sicos, imposibles de separar por completo, de la noci�n del equilibrio general tal como se ha utilizado en la econom�a: la noci�n simple de la determinaci�n, en que las relaciones que describen el sistema econ�mico deben ser suficientemente completas para determinar lo valores de sus variables, y la noci�n m�s espec�fica de que cada relaci�n representan un equilibrio de fuerzas. Generalmente, pero no siempre, se interpreta esta �ltima noci�n en el sentido de que una violaci�n de cualquier relaci�n pone en movimiento fuerzas que tienden a restaurarla (se ha demostrado que esta hip�tesis no implica la estabilidad de todo el sistema). En cierto sentido, casi todo intento de elaboraci�n de una teor�a de todo el sistema econ�mico implica la aceptaci�n de la primera parte de la noci�n de equilibrio; y la �mano invisible� de Adam Smith es una expresi�n po�tica de lo m�s fundamental en las relaciones de equilibrio econ�mico; la igualaci�n de las tasas de rendimiento, impuesta por la tendencia de los factores a trasladarse desde los rendimientos bajos hasta los altos.

 La noci�n del equilibrio (�peso igual�), con referencia a la condici�n de equilibrio de una balanza con pivote en el centro) era familiar en la mec�nica por mucho antes de la publicaci�n de La riqueza de las naciones en 1776, y con ella la noci�n de que los efectos de una fuerza pueden destruirlo (por ejemplo, el agua que busca su propio nivel), pero no es evidente que Smith haya obtenido sus ideas de alguna analog�a con la mec�nica. Cualquiera que sea la fuente del concepto, la noci�n de que un sistema social movido por acciones independientes en b�squeda de valores diferentes es compatible con un estado final de equilibrio coherente, donde los resultados pueden ser muy diferentes de los buscados por los agentes; es in duda la contribuci�n intelectual m�s importante que ha aportado el pensamiento econ�mico al entendimiento general de los procesos sociales.

Smith percibi� tambi�n la implicaci�n m�s importante de la teor�a general del equilibrio; la capacidad de un sistema competitivo para obtener una asignaci�n de recursos eficiente en alg�n sentido. Sin embargo, no se encuentra en Smith nada que parezca un argumento riguroso, siquiera una presentaci�n cuidadosa de la proposici�n de la eficiencia.

As� pues, puede sostenerse que Smith fue el creador de la teor�a del equilibrio general, aunque pueda ponerse en duda la coherencia y consistencia de su trabajo. A fortiori, los posteriores expositores sistem�ticos del sistema cl�sico, como Ricardo, Mill y Marx, cuyo trabajo subsan� algunas de las lagunas l�gicas del de Smith, pueden ser considerados como los primeros expositores de la teor�a del equilibrio general. En algunos sentidos, Marx se aproxim� m�s a la teor�a moderna en cuanto a la forma en su esquema de la reproducci�n simple (El Capital, vol. II), estudiada en combinaci�n con su desarrollo de la teor�a de los precios relativos (vol. I y III), que cualquiera otro economista cl�sico, aunque lo confunda todo en su intento de mantener
simult�neamente una teor�a pura del valor trabajo y una igualaci�n de las tasas de rendimiento del capital. [1]

Sin embargo, hay un sentido muy importante en que ninguno de los economistas cl�sicos ten�a un verdadera teor�a general del equilibrio: ninguno de ellos asign� un papel expl�cito a las condiciones de la demanda. Sin duda, los pensadores m�s sistem�ticos del grupo, de modo muy particular J.S. Mill, rindieron homenaje verbal al papel de la demanda y la influencia de los precios sobre ella, pero no hubo una integraci�n genuina de la demanda con el car�cter de la teor�a cl�sica esencialmente centrado en la oferta. Los supuestos simplificadores especiales hechos en relaci�n con la oferta facilitaron ese desentendimiento de la demanda. Una teor�a del equilibrio general es una teor�a acerca de las cantidades y los precios de todos los bienes. Sin embargo, los autores cl�sicos descubrieron que los precios parec�an estar determinados por un sistema de relaciones derivadas de la condici�n de la tasa igual de beneficio, donde no interven�an las cantidades. Esto es bastante claro como se suponen coeficientes de producci�n fijos y un solo factor primario, el trabajo, como en el famoso intercambio de Smith de venados y castores; y la demostraci�n de Malthus y Ricardo de que podr�a incluirse la tierra en el sistema constituy� una gran haza�a. Si, por �ltimo, los supuestos malthusianos acerca de la poblaci�n implicaban que el precio de oferta del trabajo estaba fijo en t�rminos de bienes, podr�a determinarse hasta la tasa de rendimiento del capital (aunque la presencia del capital como factor productivo y perceptor de remuneraciones constituy� claramente un embarazo para los autores cl�sicos, como los sigue siendo hasta cierto punto en nuestros d�as); en realidad, con el supuesto malthusiano volvi� a tener el modelo un solo factor primario; la tierra.

As� pues, en cierto sentido definido, los economistas cl�sicos no tuvieron una teor�a verdadera de la asignaci�n de recursos, ya que no se estudi� la influencia de los precios sobre las cantidades y se neg� la influencia rec�proca. [2] Pero la teor�a cl�sica no pudo responder al problema l�gico de la explicaci�n de lo salarios relativos de tipos heterog�neos de trabajo, ni al problema emp�rico de la explicaci�n de los salarios que sub�an sostenidamente por encima del nivel de subsistencia. En ese contexto surgieron las teor�as neocl�sicas alrededor de 1870, con todos los recursos primarios ocupando el papel que antes hab�a desempe�ado la tierra por s� sola.

(Para ser justo con los economistas cl�sicos, debemos recordar que la teor�a del comercio internacional en la forma que le dio Mill fue una teor�a genuina de equilibrio general. Desde luego, los supuestos formulados fueron muy restrictivos, en particular el de la inmovilidad de los factores).

2. Las contribuciones de Walras

 

El reconocimiento pleno del concepto del equilibrio general puede atribuirse sin lugar a dudas a Walras [1874, 1877], aunque W. Stanley Jevons y Carl Menger hab�an elaborado en forma independiente muchos elementos del sistema neocl�sico. [3] El sistema econ�mico se compone de unidades familiares y empresas. Cada unidad familiar posee un conjunto de recursos, bienes �tiles en la producci�n o el consumo, incluyendo diversas clases de trabajo o mano de obra. En consecuencia, para todo conjunto dado de precios una unidad familiar tiene un ingreso derivado de la venta de sus recursos, y con este ingreso pude escoger entre todos los conjuntos alternativos de bienes de consumo cuyo coste, a los precios dados, no supere el ingreso de la unidad familiar. As� pues, la demanda de cualquier bien de consumo hecha por las unidades familiares es funci�n de los precios de los bienes de consumo y de los recursos. Se supuso (por lo menos en las primeras versiones) que las empresas operaban bajo coeficientes fijos. Luego la demanda de bienes de consumo determinaba la demanda de recursos, y los supuestos combinados de los coeficientes fijos y de los beneficios iguales a cero en un sistema competitivo implicaban las relaciones entre los precios de los bienes de consumo y de los recursos. As� pues, un conjunto de precios de equilibrio era un conjunto tal que la oferta y la demanda se igualaran en cada mercado; bajo el supuesto de coeficientes de producci�n fijos, o en t�rminos m�s generales, de rendimientos constantes a escala, esto equival�a a igualar la oferta y la demanda en los mercados de recursos, cuando los precios deb�an satisfacer la condici�n de beneficios iguales a cero para todas las empresas. El trabajo posterior de Walras, J. B. Clark, Wicksteed y otros, generaliz� los supuestos relativos a la producci�n para incluir m�todos alternativos, expresados en una funci�n de producci�n. Las consideraciones de la productividad marginal ayudaron a determinar los precios de los recursos. La existencia de un conjunto de precios de equilibrios se sostuvo con base en la igualdad del n�mero de precios por determinar con el n�mero de ecuaciones que expresan la igualdad de la oferta y la demanda en todos los mercados. Ambos son iguales al n�mero de bienes, digamos n. En esta c�lculo Walras reconoci� que hab�a dos complicaciones (a) S�lo los precios relativos afectan el comportamiento de las unidades familiares y las empresas; por lo tanto, el sistema de ecuaciones tiene s�lo n-1 variables, lo que Walras expres� seleccionando un bien para que sirviera como mum�raire, mientras que los precios de todos los bienes se median en relaci�n con el precio de este numerario. (b) El equilibrio presupuestario de cada unidad familiar entre el ingreso y el valor del consumo, y la condici�n de beneficio nulo de las empresas, implican en conjunto lo que ha dado en llamarse la ley de Walras: el valor de mercado de la oferta es igual de la demanda para cualquier conjunto de precios, no s�lo para el conjunto de equilibrio; por lo tanto, las relaciones de oferta-demanda no son independientes. Si la oferta iguala a la demanda en n-1 mercados, la igualdad debe existir en el mercado n. Walras fue m�s all� y examin� la estabilidad del equilibrio, esencialmente por primera vez ( es decir, aparte de algunas alusiones breves de Mill en el contexto del comercio internacional) en su famosa pero m�s bien oscura teor�a de los t�tonnemments (literalmente �tentaleos� o �avances a tienta�). Supongamos, como hizo Walras, un conjunto de precios dado arbitrariamente: entonces la oferta puede superar a la demanda en algunos mercados y ser menor que ella en otros (a menos que el conjunto inicial sea en realidad el conjunto de equilibrio, deber� haber por lo menos un caso de cada una de esas situaciones, por la ley de Walras). Supongamos que los mercados se consideran en alg�n orden definido. En el primer mercado, ajustemos el precio de modo que se igualen la oferta y la demanda, dados todos los dem�s precios; esto requerir� normalmente que se eleve el precio si inicialmente la demanda superaba a la oferta; que se baje en caso contrario. El cambio del primer precio cambiar� la oferta y la demanda en todos los dem�s mercados. Repitamos el proceso con el segundo y los dem�s mercados. Al final de la primera vuelta, el �ltimo mercado estar� en equilibrio, pero ninguno de los dem�s lo estar� necesariamente porque los ajustes de los mercados subsecuentes destruir�n el equilibrio logrado en cualquiera de ellos. Sin embargo. arg��a Walras, las funciones de oferta y demanda de cualquier bien dado se ver�n m�s afectadas por los cambios de su propio precio que por los de otros precios; en consecuencia, tras de una vuelta los mercados deber�n estar m�s cerca del equilibrio que al principio, y tras de vueltas sucesivas tender�n a la igualdad la oferta y la demanda en cada mercado. Parece claro que Walras no supuso literalmente que los mercados alcancen el equilibrio en alg�n orden definido. M�s bien, la historia es una forma conveniente de exposici�n del modo en que el sistema de mercado podr�a resolver en realidad el sistema de las relaciones de equilibrio. El sistema din�mico, mejor dicho, afirmaba que en todo mercado sube el precio cuando la demanda supera a la oferta y baja en el caso contrario; debe suponerse tambi�n que los cambios de precios ocurren en forma simult�nea en los diversos mercados. Por �ltimo, Walras buscaba un objetivo todav�a m�s elevado con su an�lisis del equilibrio general: quer�a estudiar lo que ahora se llama est�tica comparativa; en otras palabras las leyes de variaci�n de los precios y cantidades de equilibrio al variar los datos b�sicos (recursos, condiciones de la producci�n, o funciones de utilidad). Pero en realidad se avanz� poco en esa direcci�n.

3. Edgeworth y Pareto: racionalidad de grupo y asignaci�n

 

A partir de la mano invisible de Adam Smith, los economistas cl�sicos sostuvieron que el equilibrio competitivo produc�a lo que en alg�n sentido no muy bien definido constitu�a una asignaci�n �ptima de los recursos. Edgeworth [1881] y Pareto [1909, p. 534] aclararon de modo considerable la relaci�n existente entre los equilibrios competitivos y las asignaciones �ptimas, partiendo de estas �ltimas.

Edgerworth consider� dos individuos, con recursos iniciales de dos bienes, que estaban tratando de realizar una transacci�n entre s�. No supuso que estuviesen operando bajo las reglas del juego competitivo, sino que podr�an hacer cualquier tipo de transacci�n que desearan. Supuso que (a) no har�an una transacci�n si hubiese alguna otra forma m�s beneficiosa para ambos, y (b) que ninguno de ellos realizar�a una transacci�n que lo colocase en situaci�n peor que antes. Demostr� que hab�a todo un conjunto de asignaciones, que llam� la curva de contrato, que satisfac�an estas condiciones, uno de los cuales era el equilibrio competitivo. Luego supuso que, en lugar de dos individuos, hab�a dos tipos de individuos, y que todos los individuos de cada tipo ten�an la misma funci�n de utilidad y la misma dotaci�n de recursos iniciales. Generaliz� los supuestos anteriores acerca de las condiciones del intercambio satisfactorio; no se complementar�a el intercambio multilateral entre los participantes mientras hubiese alg�n subconjunto de ellos que pudiesen hacer alguna transacci�n entre s�, utilizando s�lo su propios recursos que los beneficiase m�s que en el intercambio propuesto inicialmente. Esta condici�n generaliza los supuestos (a) y (b) anteriores. Luego lleg� a la conclusi�n notable de que al aumentar el n�mero de individuos de cada tipo se reduc�a el conjunto de intercambios posibles en la direcci�n del equilibrio competitivo. En consecuencia, un proceso de negociaci�n general resulta una relaci�n con el equilibrio general competitivo.

La contribuci�n especial de Pareto es una definici�n adecuada de la asignaci�n �ptima de los recursos, esencialmente la satisfacci�n de la condici�n (a) de la curva de contrato de Edgeworth. Reconoci�, pero no demostr� en forma rigurosa, que en su sentido siempre podr�a alcanzarse un �ptimo como un equilibrio competitivo a partir de alguna asignaci�n inicial de recursos adecuada.

4. An�lisis del equilibrio parcial

Cournot [1838] y m�s tarde Jenkin [1870] y los economistas neocl�sicos utilizaron ampliamente el an�lisis de equilibrio parcial de un solo mercado. La demanda y la oferta de un solo bien se conciben como funciones del precio de ese bien solamente; el precio de equilibrio es aqu�l en que igualen la demanda y la oferta. Esta forma de an�lisis debe contemplarse como un instrumento pedag�gico para aprovechar la facilidad de la representaci�n gr�fica de relaciones de una sola variable, o como una primera aproximaci�n al an�lisis del equilibrio general. La existencia de un mercado supone que debe haber, por lo menos, un bien aparte del que se comercia en ese mercado, ya que un precio debe expresarse como la tasa a que un individuo da algo a cambio del bien en cuesti�n. Si realmente s�lo hubiese un bien en el mundo, no habr�a intercambio ni mercado.

Supongamos por el momento que s�lo hay dos bienes, digamos el 1 y el 2. A causa de la homogeneidad, la demanda y la oferta se determinan por la raz�n del precio del bien 1 al precio del bien 2,o sea el precio del bien 2 cuando el bien 2 es el numerario. Seg�n la ley de Walras, el equilibrio en el mercado 1 asegura el equilibrio en el mercado 2. El an�lisis de equilibrio parcial del mercado 1, en el caso de dos bienes, equivale enteramente al an�lisis del equilibrio general.

El an�lisis de un mundo de dos bienes puede tener considerable utilidad did�ctica en el estudio del equilibrio general mediante un caso especial que admita una representaci�n diagram�tica sencilla, pero podr�amos preguntarnos si el an�lisis del equilibrio parcial tiene alg�n inter�s emp�rico en un mundo de muchos pa�ses. El tema siguiente, elaborado en forma independiente por Hicks [1939] y Leontief [1936], aporta una respuesta: si los precios relativos de alg�n conjunto de bienes permanece constante, para todos los fines anal�ticos el conjunto puede considerarse como un solo bien compuesto, cuyo precio puede considerarse proporcional al precio de cualquier miembro del conjunto y cuya cantidad se define luego en forma tal que el gasto (precio por cantidad) en el bien compuesto sea igual a la suma de los gastos en los bienes individuales del conjunto. En s�mbolos, si los precios, P1...,Pm, de un conjunto de bienes 1,..., m satisfacen las condicionespi =Ppi (Pi es una constante para cada i, mientras que p puede variar), podemos considerar p como el precio del bien compuesto, y piqi como la cantidad, de donde qi es la cantidad del bien i.

El teorema de agregaci�n de Hicks-Leontief puede utilizarse para justificar el an�lisis de equilibrio parcial. Supongamos que un cambio en el precio del bien 1 deje constantes los precios relativos de todos los dem�s bienes. Entonces, mientras s�lo consideramos las perturbaciones del equilibrio debidas a causas peculiares al mercado del bien 1, los bienes restantes pueden considerarse como un solo bien compuesto, y el an�lisis del equilibrio parcial ser� v�lido.

El supuesto de la constancia estricta de los precios relativos de los dem�s bienes no ser� generalmente v�lido, desde luego, pero en muchos casos de inter�s pr�ctico puede resultar aproximado. Para ello basta que los cambios de los precios relativos de los dem�s bienes inducidos por un cambio del precio del bien que se estudia, no induzcan a su vez a una modificaci�n significativa de las condiciones de la oferta y la demanda del mercado de dicho bien.

5. Desarrollos ocurridos durante los a�os treinta y despu�s: existencia y car�cter �nico

Los siguientes adelantos verdaderamente importantes se lograron apenas en los a�os treinta. Hubo dos corrientes claras de pensamiento: una iniciada en la literatura de habla alemana y preocupada primordialmente con la existencia y el car�cter �nico del equilibrio; la otra, expresada fundamentalmente en ingl�s, preocupada con la estabilidad y la est�tica comparativa. La primera principi� por examinar a fondo la simplificaci�n hecha por Cassel [1924] del sistema de Walras, caso interesante de un trabajo que en s� mismo no ten�a importancia pero cuyo estudio result� extraordinariamente fruct�fero. Cassel supuso dos clases de bienes: los productos que intervienen en las funciones de demanda de los consumidores y los factores que utilizan para producir los productos (no se consideraron los bienes intermedios). Cada producto se genera por factores con coeficientes de insumo-producto constantes. Se suponen totalmente inel�sticas las ofertas de factores. Sea a_ij la cantidad del factor i utilizada en la producci�n de una unidad del producto j, x_j la producci�n total de producto j, v_i la oferta inicial total del factor i, pj, el precio del producto j, y r_i, el precio del factor i. entonces, la condici�n de que la demanda sea igual a la oferta de todos los factores de expresa as�.

El sistema se completa con las ecuaciones que relacionan la demanda de productos con sus precios y con el ingreso total derivado de la venta de los factores. Hay en total tantas ecuaciones como inc�gnitas. Pero en tres ensayos virtualmente simult�neos de Zeuthen [1932], Neisser [1932] y von Stackelberg [1933] se demostr� en formas diferentes que el problema de la existencia de un equilibrio significativo es m�s complicado que la igualdad de ecuaciones e inc�gnitas. Neisser hizo notar que a�n con valores perfectamente veros�miles de los coeficientes de insumo-producto aij, los precios o cantidades que satisfacen (1) y (2) podr�an ser negativos. Von Stackelberg advirti� que (1) constituye un sistema completo de ecuaciones en los productos xj, dado que las ofertas de factores, vi, son datos, pero no se hab�a supuesto nada acerca de los n�meros de factores o bienes distintos. En particular, si el n�mero de bienes fuese menor que el de factores, la ecuaci�n (1) no tendr�a soluci�n en general.

Zeuthen reconsider� el significado de la ecuaci�n (1). Record� que los economistas, por lo menos desde Carl Menger, hab�an reconocido que algunos factores (como en el aire) son tan abundantes que no se cobrar�a por ellos. Estos no entrar�an en la lista de factores del sistema de Cassel. Pero Zeuthen argument� entonces que la divisi�n de factores en libres y escasos no deber�a tomarse como dada a priori. Por lo tanto, s�lo podemos decir que el uso de un factor no debe exceder su oferta, pero se es menor que tal oferta, el factor ser� libre. En s�mbolos, sustituimos (1) por

a _ij x _j < v_i

si se da desigualdad estricta, tendremos

r_i =O.                                           (1')

Para una generaci�n posterior de economistas familiarizados con la programaci�n lineal y sus generalizaciones, el significado de este paso no requiere elaboraci�n; las igualdades son reemplazadas por desigualdades y se introduce la noci�n vital de los sobrantes complementarios de cantidades y precios.

Independiente de Zeuthen, Schlesinger, un banquero y economista aficionado vien�s, lleg� a la misma conclusi�n. Pero fue mucho m�s all�, y en forma intuitiva capt� la idea crucial de que la sustituci�n de igualdades por desigualdades resuelve tambi�n los problemas planteados por Neisser y por von Stackelberg. Schelesinger [1933-34] advirti� la complejidad matem�tica de un tratamiento riguroso, y a petici�n suya Oskar Morgenstern le puso en contacto con un joven matem�tico. Abraham Wald. El resultado de su colaboraci�n fue el primer an�lisis riguroso del equilibrio competitivo general. En una serie de ensayos [1933-34, 1934-35] (v�ase en resumen en Wald [1936, 1951]), Wald demostr� la existencia del equilibrio competitivo en varios modelos alternativos, incluyendo el de Cassel y un modelo de puro intercambio. Se defini� el equilibrio competitivo en el sentido de Zeuthen, y en las matem�ticas aparece claro el papel esencial desempe�ado por esa definici�n en la justificaci�n de la existencia.

Los ensayos de Wald ten�an una profundidad matem�tica inaccesible, no s�lo por cuanto al empleo de herramientas refinadas, sino tambi�n por la complejidad del argumento. Cuando los economistas matem�ticos los conocieron gradualmente, sirvieron quiz� tanto para inhibir con su dificultad las nuevas investigaciones como para estimularlas.

Finalmente se tuvo el auxilio de una l�nea de investigaci�n relacionada; la teor�a de los juegos de John Von Neumann (primer ensayo b�sico publicado en 1928; v�ase a Von Neumann y Morgenstern [1944]. Esta relaci�n hist�rica entre la teor�a de los juegos y el equilibrio econ�mico tiene elementos parad�jicos. La teor�a de los juegos ha desarrollado varias nociones de equilibrio muy generales que, en principio, deber�an remplazar la noci�n del equilibrio competitivo o incluirla como un caso especial. Una noci�n tal de equilibrio, la del n�cleo, es id�ntica a la curva de contrato de Edgeworth; la introdujo Gillies [1953] y la aplic� Shubik [1959] a situaciones espec�ficamente de mercado, y Scarf [1962] (V�ase el Cap�tulo 8) en forma mucho m�s cercana al pensamiento econ�mico com�n. El est�mulo principal de la teor�a de los juegos a la teor�a del equilibrio ha provenido de las herramientas matem�ticas desarrolladas en aqu�lla y aplicadas en �sta con interpretaciones totalmente diferentes. El propio Von Neumann hizo la primera de tales aplicaciones en su afamado ensayo sobre el crecimiento econ�mico equilibrado [1937, 1945]. En este modelo no hab�a funciones de demanda, s�lo de producci�n. Los mercados deb�an estar en equilibrio en cada per�odo en el sentido de Zeuthen, pero m�s all� se encontraba el equilibrio en un segundo sentido que podr�a llamarse equilibrio estacionario. La configuraci�n del equilibrio deb�a ser la misma de un per�odo a otro. Para probar la existencia del equilibrio, Von Neumann demostr� que cierta raz�n de formas bilineales ten�a un punto nulo, lo que constitu�a una generalizaci�n del teorema que probaba la existencia del equilibrio en los juegos de dos personas de suma cero. Pero en la teor�a de los juegos las variables del problema son probabilidades (de escoger estrategias alternativas), mientras que en la aplicaci�n a la teor�a del equilibrio un conjunto de variables era el de los precios y el otro el de los niveles de las actividades productivas.

Von Neumann dedujo su teorema del punto nulo a partir de una generalizaci�n del teorema del punto fijo de Brouwer, una proposici�n famosa en topolog�a. El matem�tico Shizuo Kakutani present� a�os despu�s un versi�n simplificada del teorema de Von Neumann, y el teorema de Kakutani ha sido la herramienta b�sica virtualmente en la totalidad del trabajo posterior (en el Ap�ndice Matem�tico C se encuentran enunciados y pruebas de los teoremas de Brouwer y Kakutani). Con estos fundamentos, m�s la influencia del r�pido desarrollo de la programaci�n lineal tanto en el campo de las matem�ticas (de nuevo relacionado estrechamente con los teoremas del punto nulo) como en el de la econom�a[4] varios acad�micos percibieron en forma independiente que ahora se pod�an obtener teoremas de existencia m�s simples y generales que los de Wald. Los primeros ensayos fueron los de McKenzie [1954] y Arrow y Debreu [1954]. Luego vinieron las aportaciones de Hukukane Nikaid� [1956] e Hirofumi Uzawa, Debreu y McKenzie [1959,1961]. La exposici�n sistem�tica m�s completa de las condiciones de existencia se encuentra en Debreu [1959]; la versi�n m�s general se encuentra tambi�n en Debreu [1962].

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6. Desarrollo durante los treinta y despu�s: estabilidad y est�tica comparativa

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Independientemente de este desarrollo de las condiciones de existencia del equilibrio, la literatura
anglo-norteamericana conten�a un estudio intensivo de la est�tica comparativa y la estabilidad del equilibrio competitivo general. Hist�ricamente se relacionaba de cerca con los an�lisis de las condiciones de segundo orden para la elevaci�n al m�ximo de los beneficios por parte de las empresas y de la utilidad por parte de los consumidores; las aportaciones m�s importantes se debieron a John R. Hicks, Harold Hotelling, Paul Samuelson y R. G. D. Allen. En particular Hicks [1939] introdujo el argumento de que la estabilidad del equilibrio llevaba consigo ciertas implicaciones relativas a las formas de las funciones de oferta y demanda en la vecindad del equilibrio; en consecuencia, pueden pronosticarse los efectos de cambios peque�os de cualquier relaci�n de comportamiento, por lo menos en cuanto al signo. La definici�n de la estabilidad de Hicks ha sido reemplazada en el trabajo posterior de Samuelson [1941, 1942]; sin embargo, Hicks demostr� que la estabilidad en su sentido era equivalente (localmente) a una condici�n que ha desempe�ado un papel considerable en la investigaci�n subsecuente. Sea Z i la demanda excedente (demanda menos oferta) del bien i, en general es funci�n de P₁,...,P_n' los precios de los n bienes. Entonces, la definici�n de la estabilidad de Hicks era equivalente a la condici�n de que los menores principales de la matriz, cuyos elementos fuesen z_i / p_j tuviesen determinantes que fuesen positivos o negativos, seg�n el n�mero de hileras o columnas incluidas fuese par o non. Hicks trat� tambi�n de derivar conclusiones de est�tica comparativa acerca de la respuesta de los precios ante cambios de las funciones de demanda. Los teoremas actualmente aceptados llegan a las mismas conclusiones, aunque a partir de las premisas diferentes.

Samuelson formul� la definici�n de estabilidad ahora aceptada. Argument� que la misma debe basarse en un modelo din�mico expl�cito relativo al comportamiento de los precios cuando el sistema est� en desequilibrio. Formaliz� el supuesto impl�cito de Walras y de la mayor�a de sus sucesores; el precio de cada bien aumenta en forma proporcional a la demanda excedente de ese bien. Este supuesto define un sistema de ecuaciones diferenciales; si todos los caminos que satisfacen el sistema y parten suficientemente cerca del equilibrio convergen hacia el mismo, el sistema ser� estable. Samuelson pudo demostrar que la definici�n de Hicks no es necesaria ni suficiente para la suya, y que el sistema econ�mico es estable si los efectos de ingreso sobre el consumo son suficientemente peque�os. Propuso un principio de correspondencia general, en el sentido de que todos los teoremas significativos de la est�tica comparativa derivan de las condiciones de segundo orden relativas a la elevaci�n al m�ximo de los beneficios por parte de las empresas o de la utilidad por parte de los consumidores, o bien del supuesto de que el equilibrio observado es estable. En realidad, de este principio se pueden derivar muy pocas proposiciones �tiles

La tendencia actual en materia de est�tica comparativa y estabilidad se origin� en el trabajo de Mosak [1944] y de Metzler [1945]. No se ha hecho hincapi� precisamente en el principio de correspondencia de Samuelson, sino que se ha tendido m�s bien a formular hip�tesis acerca de las funciones de demanda excedente que implican a la vez estabilidad y ciertos resultados en el campo de la est�tica comparativa.

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7. La estructura de la determinaci�n de los precios y la unicidad del equilibrio

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A partir de 1948 se ha desarrollado un an�lisis m�s detallado de las relaciones existentes entre los precios de los factores y los precios de los bienes producidos. En estos an�lisis suele suponerse que (a) cada bien es un factor original o un bien producido, pero no ambas cosas y (b) no hay producci�n conjunta; o sea, que cada proceso de producci�n tiene exactamente un producto, aunque puede tener varios insumos.

El caso en que se supone, adem�s, que la producci�n ocurre en condiciones de coeficientes fijos, genera un an�lisis relativamente sencillo. La condici�n de beneficio nulo en todos los procesos conduce a un sistema de ecuaciones lineales. En el caso sencillo en que todos los insumos son factores originales, los precios de los bienes que se produzcan en cualquier cantidad positiva se relacionan con los precios de los factores por las ecuaciones (2) (Secci�n 1.5). Advi�rtase que si s�lo hay un bien primario los coeficientes tecnol�gicos determinan los precios relativos de todos los bienes. Por otra parte, si el n�mero de factores no excede el n�mero de bienes producidos y si la matriz (a_ij) tiene un orden igual al n�mero de factores (igual al n�mero de hileras), los precios de los factores se determinan en forma �nica por los precios de los bienes.

Estas conclusiones obvias tienen generalizaciones muy considerables. Las primeras extensiones se aplicaron el caso en que hay bienes intermedios, o sea bienes producidos, que se utilizan como insumos en la producci�n de bienes (Leontief [1941]). Consid�rese de nuevo s�lo los bienes producidos en alguna cantidad positiva de modo que la condici�n de beneficio nulo exista en cada proceso productivo. Sea ahora a_ij la cantidad del bien producido i utilizada en la producci�n de una unidad del bien j, y sea b_kj, la cantidad factor del original k utilizada en la producci�n de una unidad del bien j. Como antes, sea p_j el precio del bien producido j, y sea v_k el precio del factor original k. Entonces las condiciones de beneficio nulo se escriben:

p_j - p_i a_ij = v_k b_kj

o en la notaci�n de matrices y vectores.

p = pA = vB,                         (3)

donde p y v son los vectores con componentes p_j y v_k, respectivamente y entonces (3) puede escribirse

p(I-A)=vB,                         (4)

y, si I-A es no singular,  

p = vB (I-A)- 1.                          (5)

Por lo tanto los precios de los factores determinan los precios de los bienes, en particular, si s�lo hay un factor original, sigue siendo cierto que los precios relativos de los bienes producidos se determinan completamente por los coeficientes t�cnicos, independientemente de la demanda. Tambi�n, si el orden de la matriz B es igual al n�mero de factores (hileras), puede verse por (4) que los precios de lo bienes determinan en forma �nica los precios de los factores.

Debe hacerse notar que los precios de los bienes determinados por (4) son necesariamente no negativos si los precios de los factores lo son, y si se satisface una condici�n natural en A. Espec�ficamente, se sigue de las definiciones de A y B. y del supuesto de que no hay una producci�n conjunta, que los elementos de A y B son no negativos. Sup�ngase ahora que el sistema es productivo en el sentido de que es posible producir la cantidad positiva de cada bien producida si no consideramos las limitaciones debidas a escasez de los factores: en s�mbolos, existe una vector no negativo X tal que AX �X (es decir, cada componente de AX es menor que el componente correspondiente de X) Se sigue entonces de una teor�a matem�tica de Perron y Frobenius bien conocida: que la matriz I-A es no singular y que los elementos de (I-A) son no negativos. Para V no negativo, vB es no negativo, y por lo tanto p=vB (I-A)- 1 es no negativo (v�ase una exposici�n de esta cuesti�n en Karlin [1959, vol. I p�ginas 245-246 y 256-258]; la teor�a matem�tica puede verse en Karlin [1959, Vol. I pp. 246-256] o en el Ap�ndice Matem�tico A).

Trabajos realizados desde 1948 han demostrado que estas relaciones entre los precios de los bienes y de los factores pueden generalizarse al caso de m�todos alternativos de producci�n (pero se conserva la hip�tesis de ausencia de producci�n conjunta). Samuelson [1951] y Georgescu-Roegen [1951] demostraron que con un factor primario sigue siendo cierto que la tecnolog�a determina los precios relativos de bienes producidos, independientemente de las condiciones de la demanda. En cierto sentido, esto es una resurrecci�n sorprendente de la teor�a cl�sica, donde las condiciones de la oferta determinan por s� solas los precios. Dado que la producci�n competitiva siempre reduce los costes al m�nimo, se sigue que la t�cnica escogida realmente para la producci�n de cualquier bien es tambi�n independiente de las condiciones de la demanda, aunque en general depender� de las condiciones tecnol�gicas existentes en otras industrias. En la Secci�n 2.11 se encontrar� una explicaci�n m�s amplia.

Samuelson [1948, 1953-54] estudi� las condiciones de la determinaci�n de los precios de los factores por los precios de los bienes; el problema surgi� en el contexto del comercio internacional, que seg�n se supone iguala los precios de los bienes entre pa�ses. En realidad, la cuesti�n de las condiciones bajo las cuales los precios de los bienes determinan los precios de los factores en un caso especial de las condiciones de la unicidad de los precios del equilibrio general, espec�ficamente el caso en que la demanda de los bienes es perfectamente el�stica.

En general no hay necesidad de que el equilibrio sea �nico, y ya desde Marshall se han conocido ejemplos no de unicidad. Wald [1936] inici� el estudio de las condiciones suficientes para la unicidad del equilibrio competitivo. Desde entonces, sus dos condiciones suficientes alternativas se han convertido en grandes temas de la literatura: el axioma d�bil de la preferencia revelada se da en las funciones de la demanda de mercado, o todos los bienes son sustitutos aproximados.

Gale y Nikaid� [1965] corrigieron un error contenido en las condiciones de Samuelson para la determinaci�n de los precios de las factores; adem�s, aportaron la base matem�tica de un teorema de unicidad muy general, que en particular pluraliza la condici�n de Wald de la sustituibilidad aproximada .

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